Sciences Physiques · Séries S2 - S2A (Coef. 6) & S4 - S5
Ex 1 · 04 pts
Chimie Organique · Industrie Agroalimentaire dans le Walo & Dérivés d'Acides
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Une entreprise agroalimentaire sénégalaise, située dans le Walo, spécialisée dans la fabrication de boissons et de confiseries, souhaite développer de nouveaux arômes artificiels destinés à améliorer l’odeur et le goût de ses produits. Pour cela, le laboratoire de recherche utilise différents composés organiques dérivés des acides carboxyliques afin de synthétiser des esters possédant des odeurs fruitées agréables et une bonne stabilité chimique.
Dans le laboratoire industriel, on trouve les composés organiques suivants : Chlorure de méthylpropanoyle (A) ; anhydride propanoïque (B) ; butanamide (C) ; éthanoate d’éthyle (D) et acide-2-hydroxypentanoïque (E).
1.1- Écrire les formules semi-développées des composés A, B, C et D. (1 pt)
1.2- Les composés A et B peuvent être synthétisés à partir d’acides carboxyliques. Écrire les équations-bilans de formation des composés A et B. (0,5 pt)
1.3- La réaction de décarboxylation du composé E (acide-2-hydroxypentanoïque) donne un alcool (F). L’oxydation ménagée de l’alcool (F) en milieu acide par les ions permanganate donne un composé organique (G) qui réagit avec la 2,4-DNPH et le réactif de Schiff. Déterminer les formules semi-développées et les noms des composés organiques (F) et (G). (1 pt)
1.4- Synthèse de l’éthanoate d’éthyle (D) :
1.4.1- Écrire l’équation-bilan de la réaction de formation de l’éthanoate d’éthyle à partir de l’acide carboxylique et de l’alcool correspondants et donner les caractéristiques de la réaction. (0,75 pt)
1.4.2- Dans un ballon, elle introduit un volume $V_1 = 20\text{ mL}$ de l’acide et un volume $V_2 = 10\text{ mL}$ de l’alcool avec quelques gouttes d’acide sulfurique concentré. Chauffage à reflux, masse $m_e$ récupérée avec un rendement de $90\%$. Déterminer la valeur de la masse $m_e$. (0,75 pt)
Données : $\rho_1 = 1{,}049\text{ g}\cdot\text{mL}^{-1}$, $\rho_2 = 0{,}789\text{ g}\cdot\text{mL}^{-1}$. Masses molaires en $\text{g/mol}$ : $M(C)=12, M(H)=1, M(O)=16$.
1.1. Formules semi-développées (4 × 0,25 pt) :
• A : $\text{CH}_3-\text{CH}(\text{CH}_3)-\text{COCl}$ (Chlorure de 2-méthylpropanoyle)
• B : $\text{CH}_3-\text{CH}_2-\text{CO}-\text{O}-\text{CO}-\text{CH}_2-\text{CH}_3$ (Anhydride propanoïque)
• C : $\text{CH}_3-\text{CH}_2-\text{CH}_2-\text{CONH}_2$ (Butanamide)
• D : $\text{CH}_3-\text{COO}-\text{CH}_2-\text{CH}_3$ (Éthanoate d'éthyle)
1.2. Équations-bilans de synthèse de A et B (2 × 0,25 pt) :
• Pour A : $\text{CH}_3-\text{CH}(\text{CH}_3)-\text{COOH} + \text{SOCl}_2 \longrightarrow \text{CH}_3-\text{CH}(\text{CH}_3)-\text{COCl} + \text{HCl} + \text{SO}_2$
• Pour B : $2\,\text{CH}_3-\text{CH}_2-\text{COOH} \xrightarrow{\text{P}_4\text{O}_{10},\,\Delta} \text{CH}_3-\text{CH}_2-\text{CO}-\text{O}-\text{CO}-\text{CH}_2-\text{CH}_3 + \text{H}_2\text{O}$
1.3. Composés F et G issus de la décarboxylation de E (2 × 0,5 pt) :
• La décarboxylation élimine le groupement $-\text{COOH}$ : $\text{CH}_3-\text{CH}_2-\text{CH}_2-\text{CH(OH)}-\text{COOH} \longrightarrow \text{CH}_3-\text{CH}_2-\text{CH}_2-\text{CH}_2\text{OH} + \text{CO}_2$.
• F : $\text{CH}_3-\text{CH}_2-\text{CH}_2-\text{CH}_2\text{OH}$ (Butan-1-ol).
• L'oxydation ménagée d'un alcool primaire donne un aldéhyde (qui réagit positivement au réactif de Schiff et à la DNPH) :
• G : $\text{CH}_3-\text{CH}_2-\text{CH}_2-\text{CHO}$ (Butanal).
1.4. Synthèse de l'éthanoate d'éthyle :
1.4.1. $\text{CH}_3\text{COOH} + \text{CH}_3\text{CH}_2\text{OH} \rightleftharpoons \text{CH}_3\text{COOCH}_2\text{CH}_3 + \text{H}_2\text{O}$.
Caractéristiques : Réaction lente, athermique et réversible (limitée).
1.4.2. Calcul des quantités de matière initiales :
• $n_{\text{acide}} = \frac{\rho_1 V_1}{M_1} = \frac{1{,}049 \times 20}{60} = 0{,}350\text{ mol}$.
• $n_{\text{alcool}} = \frac{\rho_2 V_2}{M_2} = \frac{0{,}789 \times 10}{46} = 0{,}171\text{ mol}$.
L'alcool est le réactif limitant ($n_{\text{théo}} = 0{,}171\text{ mol}$).
• Masse théorique d'ester : $m_{\text{théo}} = 0{,}171 \times 88 = 15{,}05\text{ g}$.
• Avec un rendement $R = 90\%$ : $m_e = 0{,}90 \times 15{,}05 = \mathbf{13{,}5\text{ g}}$.
Ex 2 · 04 pts
Dosage pH-métrique de l'Aspirine 500 & Intérêt de la Solution Tampon
Dans le cadre du contrôle de qualité des médicaments, les laboratoires pharmaceutiques doivent vérifier que la quantité de principe actif indiquée sur les emballages correspond réellement à celle contenue dans les comprimés. L’aspirine, ou acide acétylsalicylique, est couramment utilisée pour ses propriétés antalgiques et antipyrétiques. On se propose de vérifier expérimentalement l’indication « 500 mg » figurant sur une boîte d’aspirine à l’aide d’un dosage pH-métrique, et de mettre en évidence l’intérêt d’une solution tamponnée.
On dissout un comprimé d’« aspirine 500 » dans une fiole jaugée contenant $500\text{ mL}$ d’eau distillée. On dose $V_a = 200\text{ mL}$ de la solution ainsi préparée avec une solution d’hydroxyde de sodium de concentration molaire volumique $C_b = 1{,}0\cdot 10^{-1}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}$.
| Vb (mL) | 0 | 2,0 | 4,0 | 6,0 | 8,0 | 10,0 | 10,3 | 10,5 | 10,7 | 10,9 | 11,0 | 11,1 | 11,2 | 11,5 | 12,0 | 14,0 | 16,0 |
| pH | 3,1 | 3,3 | 3,5 | 3,7 | 4,1 | 4,7 | 5,0 | 5,2 | 5,7 | 6,6 | 7,1 | 8,6 | 9,3 | 9,9 | 10,3 | 10,8 | 11,0 |
2.1.1- Écrire l’équation-bilan de la réaction de dosage en prenant $\text{AH}$ comme formule moléculaire de l’acide acétylsalicylique. (0,5 pt)
2.1.2- Tracer la courbe représentant la variation du pH en fonction du volume $V_b$ d’hydroxyde de sodium versé. (0,75 pt)
2.1.3- Déterminer graphiquement les coordonnées du point d’équivalence $E(V_{bE}; \text{pH}_E)$. (0,5 pt)
2.1.4- Déterminer la concentration $C_a$ de la solution dosée. En déduire la masse $m_a$ (en mg) d’aspirine contenue dans le comprimé. On donne $M(\text{AH}) = 180\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}$. (0,75 pt)
2.1.5- L’étiquette indique 500 mg. Calculer l’écart relatif $E_r = \frac{|500 - m_a|}{500} \times 100$. Le résultat est-il conforme avec une tolérance de 3% ? (0,5 pt)
2.2.1- L’aspirine a un $\text{p}K_a = 3{,}5$. Représenter le diagramme de prédominance de l’aspirine. Identifier l’espèce majoritaire ($\text{AH}$ ou $\text{A}^-$) dans l’estomac où le $\text{pH} = 1{,}5$. (0,5 pt)
2.2.2- Dans l’estomac, l’aspirine tamponnée maintient le pH à 3,6. Définir une solution tampon et donner ses propriétés. (0,5 pt)
2.1.1. Équation-bilan du dosage :
$$\text{AH} + (\text{Na}^+ + \text{OH}^-) \longrightarrow (\text{Na}^+ + \text{A}^-) + \text{H}_2\text{O}$$
2.1.3. Coordonnées de l'équivalence par la méthode des tangentes parallèles :
$$V_{bE} = 11{,}0\text{ mL} \quad \text{et} \quad \text{pH}_E = 7{,}1 \quad (\text{ou } 7{,}2)$$
2.1.4. Concentration $C_a$ et masse $m_a$ :
À l’équivalence : $n(\text{AH}) = n(\text{OH}^-) \implies C_a V_a = C_b V_{bE} \implies C_a = \frac{C_b V_{bE}}{V_a} = \frac{0{,}10 \times 11{,}0}{200} = \mathbf{5{,}5 \cdot 10^{-3}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}}$.
Quantité de matière totale dans le comprimé dissous dans $V_{\text{tot}} = 500\text{ mL} = 0{,}500\text{ L}$ :
$$n_{\text{total}} = C_a \times V_{\text{tot}} = 5{,}5 \cdot 10^{-3} \times 0{,}500 = 2{,}75 \cdot 10^{-3}\text{ mol}$$
Masse correspondante d'aspirine :
$$m_a = n_{\text{total}} \times M(\text{AH}) = 2{,}75 \cdot 10^{-3} \times 180 = 0{,}495\text{ g} = \mathbf{495\text{ mg}}$$.
2.1.5. Écart relatif et verdict de conformité :
$$E_r = \frac{|500 - 495|}{500} \times 100 = \frac{5}{500} \times 100 = \mathbf{1{,}0\%}$$
Puisque $E_r = 1{,}0\% < 3\%$, le dosage confirme rigoureusement la conformité du médicament commercialisé.
2.2.1. Diagramme de prédominance et pH stomacal :
Pour $\text{pH} < \text{p}K_a (3{,}5)$, la forme acide $\text{AH}$ prédomine. Dans l'estomac ($\text{pH} = 1{,}5 < 3{,}5$), l'acide acétylsalicylique $\text{AH}$ est l'espèce très largement majoritaire.
2.2.2. Définition et propriétés de la solution tampon :
Une solution tampon est un mélange équimolaire (ou de concentrations voisines) d'un acide faible et de sa base conjuguée. Son pH varie très peu lors d'une dilution modérée ou d'un ajout mesuré d'acide fort ou de base forte.
Ex 3 · 04 pts
Gravitation Universelle · Satellite Sahel-Sat, 3e Loi de Kepler & Transfert Géostationnaire
Les pays du Sahel sont confrontés à des problèmes majeurs liés à la désertification, à la raréfaction des ressources en eau et aux changements climatiques. Un groupe de jeunes ingénieurs africains conçoit un satellite artificiel appelé Sahel-Sat, destiné à observer l’évolution du couvert végétal, à repérer les zones menacées par la sécheresse et à transmettre rapidement les informations aux centres météorologiques et agricoles de la région. Le satellite est d’abord placé en orbite basse ($h = 600\text{ km}$) pour des prises de vues détaillées, puis transféré vers une orbite géostationnaire pour une transmission continue.
Données : $R_T = 6\,370\text{ km}$, $M_T = 5{,}97\cdot 10^{24}\text{ kg}$, $T_0 = 86\,164\text{ s}$, $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\text{ SI}$, $g_0 = 9{,}8\text{ m/s}^2$, $m = 500\text{ kg}$.
3.1.1- En appliquant la deuxième loi de Newton dans le référentiel géocentrique, montrer que le mouvement du satellite est circulaire uniforme. (0,25 pt)
3.1.2- Établir l’expression de la vitesse linéaire $v$ du satellite en fonction de $g_0, R_T$ et $h$. Calculer sa valeur pour $h = 600\text{ km}$. (0,75 pt)
3.1.3- Définir la période de révolution $T$ puis montrer qu'elle s'exprime par $T = \frac{2\pi(R_T+h)}{R_T} \sqrt{\frac{R_T+h}{g_0}}$. Énoncer et établir la 3e loi de Kepler. (1 pt)
3.2.1- Rappeler les conditions pour qu’un satellite soit géostationnaire. (0,5 pt)
3.2.2- Déduire l’expression de l’altitude $H$ de l'orbite géostationnaire, puis la calculer. (0,5 pt)
3.3.1- Établir l’expression de l’énergie mécanique totale $E_m$ en fonction de $G, M_T, m$ et $r$. (0,25 pt)
3.3.2- Calculer la variation d'énergie mécanique $\Delta E_m$ (travail des moteurs) fournie pour transférer le satellite de l'orbite basse à l'orbite géostationnaire. (0,75 pt)
3.1.1. Mouvement circulaire uniforme :
Dans la base de Frenet $(\vec{u}_t, \vec{n})$ : $\sum \vec{F} = m\vec{a} \implies \frac{G M_T m}{r^2} \vec{n} = m(a_t \vec{u}_t + a_n \vec{n})$.
Par projection : $a_t = \frac{dv}{dt} = 0 \implies v = \text{constante}$. Le mouvement est donc rigoureusement uniforme.
3.1.2. Vitesse linéaire $v$ :
$$a_n = \frac{v^2}{R_T + h} = \frac{G M_T}{(R_T + h)^2} = \frac{g_0 R_T^2}{(R_T + h)^2} \implies v = R_T \sqrt{\frac{g_0}{R_T + h}}$$
Application numérique ($h = 600\text{ km} = 0{,}600 \cdot 10^6\text{ m}$) :
$$v = 6{,}37 \cdot 10^6 \times \sqrt{\frac{9{,}8}{(6{,}37 + 0{,}60) \cdot 10^6}} = \mathbf{7\,554\text{ m/s}} \quad (\approx 7{,}55\text{ km/s})$$
3.1.3. Période de révolution et 3e Loi de Kepler :
$$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi (R_T + h)}{R_T \sqrt{\frac{g_0}{R_T + h}}} = \frac{2\pi (R_T + h)}{R_T} \sqrt{\frac{R_T + h}{g_0}}$$
En élevant au carré : $T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{g_0 R_T^2} \implies \frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{G M_T} = \text{constante}$. C'est la 3e loi de Kepler.
Période en orbite basse : $T_1 = \frac{2\pi \times 6{,}97 \cdot 10^6}{7554} = \mathbf{5\,800\text{ s}} \approx \mathbf{1\text{h } 36\text{min}}$.
3.2. Conditions du satellite géostationnaire et altitude $H$ :
1. Orbite circulaire située dans le plan équatorial.
2. Même sens de rotation que la Terre (d'Ouest en Est).
3. Période égale à la période de rotation sidérale terrestre ($T = T_0 = 86\,164\text{ s}$).
$$H = \left( \frac{g_0 R_T^2 T_0^2}{4\pi^2} \right)^{1/3} - R_T = \mathbf{35\,786\text{ km}} \quad (\approx 36\,000\text{ km})$$
3.3. Énergie mécanique et travail des moteurs $\Delta E_m$ :
$$E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{G M_T m}{r} = \frac{1}{2}m\frac{G M_T}{r} - \frac{G M_T m}{r} = -\frac{G M_T m}{2r}$$
Variation d'énergie lors du transfert de $r_1 = R_T + h$ vers $r_2 = R_T + H$ :
$$\Delta E_m = E_{m2} - E_{m1} = \frac{G M_T m}{2} \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right) = \mathbf{1{,}2 \cdot 10^{10}\text{ J}} = \mathbf{12\text{ GJ}}$$
Ex 4 · 04 pts
Circuit (R, L, C) Série · Lycée Mboumba (Podor), Résonance & Facteur de Qualité
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Des élèves du lycée Mboumba à Podor étudient le dipôle RLC série branché aux bornes d’un générateur basse fréquence délivrant une tension sinusoïdale de valeur efficace $U = 1{,}0\text{ V}$ et de fréquence $f$ réglable.
Composants : résistor de résistance $R$ inconnue ; bobine d’inductance $L = 0{,}12\text{ H}$ et résistance $r = 18\,\Omega$ ; condensateur de capacité $C$ inconnue.
4.1.1- Définir la résonance d’intensité. (0,25 pt)
4.1.2- Donner l'expression de l'impédance $Z(f)$ et son expression à la résonance. (0,5 pt)
4.1.3- Exprimer l'intensité efficace $I$ et sa valeur $I_0$ à la résonance. (0,5 pt)
4.1.4- Exprimer la fréquence propre $f_0$ à la résonance en fonction de $L$ et $C$. (0,25 pt)
4.2.1- Déterminer graphiquement la fréquence de résonance $f_0$ et l’intensité efficace $I_0$. (0,5 pt)
4.2.2- En déduire la résistance $R$ et la capacité $C$. (0,75 pt)
4.2.3- Déterminer la largeur de la bande passante $\Delta f$. (0,5 pt)
4.2.4- Calculer le facteur de qualité $Q$. Y a-t-il une surtension aux bornes du condensateur ? (0,75 pt)
4.1. Impédance et résonance :
$$Z(f) = \sqrt{(R+r)^2 + \left(2\pi f L - \frac{1}{2\pi f C}\right)^2}$$
À la résonance : $Z_0 = R + r$. L'intensité efficace est maximale : $I_0 = \frac{U}{R+r}$. Fréquence : $f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$.
4.2. Exploitation des mesures expérimentales :
• Lecture graphique du sommet : $f_0 = \mathbf{120\text{ Hz}}$ et $I_0 = 10\text{ mA} = 10^{-2}\text{ A}$.
• Résistance totale : $R+r = \frac{U}{I_0} = \frac{1{,}0}{10^{-2}} = 100\,\Omega \implies R = 100 - 18 = \mathbf{82\,\Omega}$.
• Capacité $C$ : $C = \frac{1}{4\pi^2 f_0^2 L} = \frac{1}{4\pi^2 \times 120^2 \times 0{,}12} = \mathbf{14{,}7\,\mu\text{F}}$.
• Bande passante à $-3\text{ dB}$ ($I = I_0 / \sqrt{2} = 7{,}07\text{ mA}$) : $\Delta f = f_2 - f_1 = 193 - 60 = \mathbf{133\text{ Hz}}$.
• Facteur de qualité : $Q = \frac{f_0}{\Delta f} = \frac{120}{133} = \mathbf{0{,}90}$.
Surtension : $U_C = Q \times U = 0{,}90 \times 1{,}0 = 0{,}9\text{ V} < U$. Il n'y a pas de phénomène de surtension car $Q < 1$.
Ex 5 · 04 pts
Physique Quantique & Ondulatoire · Niveaux d'Énergie de Bohr & Interférences de Young
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Une équipe met au point une source monochromatique à lampe à hydrogène pour une expérience d’interférences de Young ($a = 0{,}50\text{ mm}$, $D = 2{,}0\text{ m}$). L’énergie des niveaux de l'atome d'hydrogène est $E_n = -\frac{2{,}18 \cdot 10^{-18}}{n^2}\text{ J}$.
Données : $c = 3{,}00\cdot 10^8\text{ m/s}$, $h = 6{,}62\cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}$, $e = 1{,}60\cdot 10^{-19}\text{ C}$, $R_H = 1{,}097\cdot 10^7\text{ m}^{-1}$.
5.1- Calculer les valeurs $E_1, E_2$ et $E_3$ en joules. (0,75 pt)
5.2- Déterminer les longueurs d’onde $\lambda_{3,2}$, $\lambda_{3,1}$ et $\lambda_{2,1}$ des radiations émises. (0,75 pt)
5.3- Établir la relation $\frac{1}{\lambda_{3,1}} = \frac{1}{\lambda_{3,2}} + \frac{1}{\lambda_{2,1}}$ et la vérifier par le calcul. (0,5 pt)
5.4.1- Conditions d’obtention d’interférences lumineuses stables. (0,5 pt)
5.4.2.1- Rappeler la condition de frange brillante. (0,25 pt)
5.4.2.2- Établir l’expression de l’interfrange $i$. (0,5 pt)
5.4.2.3- Déterminer la distance entre la 2ème frange brillante et la 9ème frange sombre au-dessus de la frange centrale pour $\lambda_{3,2} = 656\text{ nm}$. (0,75 pt)
5.1. Niveaux d'énergie :
$$E_1 = -2{,}18 \cdot 10^{-18}\text{ J} = -13{,}6\text{ eV}, \quad E_2 = -5{,}45 \cdot 10^{-19}\text{ J} = -3{,}4\text{ eV}, \quad E_3 = -2{,}42 \cdot 10^{-19}\text{ J} = -1{,}51\text{ eV}$$
5.2. Longueurs d'onde des transitions :
$$\Delta E = \frac{hc}{\lambda} \implies \lambda = \frac{hc}{|E_f - E_i|}$$
• $\lambda_{3,2} = \frac{6{,}62 \cdot 10^{-34} \times 3{,}00 \cdot 10^8}{(5{,}45 - 2{,}42) \cdot 10^{-19}} = \mathbf{656\text{ nm}}$ (Raie rouge $H_\alpha$, visible)
• $\lambda_{3,1} = \mathbf{102{,}5\text{ nm}}$ (UV)
• $\lambda_{2,1} = \mathbf{121{,}5\text{ nm}}$ (UV, raie Lyman)
5.3. Relation de combinaison de Rydberg-Ritz :
$$E_3 - E_1 = (E_3 - E_2) + (E_2 - E_1) \iff \frac{hc}{\lambda_{3,1}} = \frac{hc}{\lambda_{3,2}} + \frac{hc}{\lambda_{2,1}} \iff \frac{1}{\lambda_{3,1}} = \frac{1}{\lambda_{3,2}} + \frac{1}{\lambda_{2,1}}$$
5.4. Fentes d'Young :
• Interfrange : $i = \frac{\lambda D}{a} = \frac{656 \cdot 10^{-9} \times 2{,}0}{0{,}50 \cdot 10^{-3}} = \mathbf{2{,}62\text{ mm}}$.
• Position de la 2e frange brillante : $x_{b2} = 2i$.
• Position de la 9e frange sombre : $x_{s9} = (9 - 0{,}5)i = 8{,}5i$.
• Distance séparatrice : $d = x_{s9} - x_{b2} = 8{,}5i - 2i = 6{,}5i = 6{,}5 \times 2{,}62 = \mathbf{17{,}0\text{ mm}}$.
Sciences Physiques · Séries S1 - S1A - S3 (Coef. 8)
Ex 1 · 03 pts
Acides $\alpha$-aminés · Lycée Scientifique de Diourbel, Décarboxylation & Fischer
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Des élèves du lycée scientifique de Diourbel étudient un acide $\alpha$-aminé naturel A à chaîne carbonée saturée et ramifiée. Par décarboxylation de A, on obtient un composé organique B de formule $R-\text{CH}_2-\text{NH}_2$. Il faut exactement $m = 1{,}46\text{ g}$ de B pour doser un volume $V_a = 20{,}0\text{ mL}$ d'une solution d'acide chlorhydrique de concentration $C_a = 1{,}00\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}$.
Données : $\text{p}K_{a1} = 2{,}3$, $\text{p}K_{a2} = 9{,}7$. Masses molaires : $H=1, C=12, N=14, O=16$.
1.1.1- Équation de décarboxylation de A. (0,25 pt)
1.1.2- Montrer que la formule brute est $\text{C}_5\text{H}_{11}\text{O}_2\text{N}$ et donner sa formule semi-développée. (0,5 pt)
1.1.3- Nom dans la nomenclature officielle. (0,25 pt)
1.1.4- Représentations de Fischer L et D. (0,25 pt)
1.2.3- Établir l'expression du point isoélectrique $\text{pHi}$ en fonction de $\text{p}K_{a1}$ et $\text{p}K_{a2}$, puis calculer sa valeur. (0,5 pt)
Corrigé :
• $n_B = n_a = C_a V_a = 1{,}00 \times 0{,}020 = 0{,}020\text{ mol} \implies M_B = \frac{1{,}46}{0{,}020} = 73\text{ g/mol}$.
• $M(R-\text{CH}_2-\text{NH}_2) = M(R) + 14 + 16 = 73 \implies M(R) = 43\text{ g/mol} \implies R = -\text{CH}(\text{CH}_3)_2$ (groupe isopropyle).
• Formule de A : $\text{CH}_3-\text{CH}(\text{CH}_3)-\text{CH}(\text{NH}_2)-\text{COOH}$ (Acide 2-amino-3-méthylbutanoïque, ou Valine).
• $\mathbf{pHi} = \frac{\text{p}K_{a1} + \text{p}K_{a2}}{2} = \frac{2{,}3 + 9{,}7}{2} = \mathbf{6{,}0}$.
Ex 2 · 03 pts
Contrôle Environnemental · Conserverie de la Petite Côte & Toxicité de l'Acide Méthanoïque
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Une conserverie de poissons rejette ses eaux dans un estuaire côtier. Seuil de toxicité chronique : 46 à $100\text{ mg/L}$. Mesure initiale du pH : $\text{pH} = 3{,}5$. $\text{p}K_a(\text{HCOOH}/\text{HCOO}^-) = 3{,}75$.
Dosage par l'hydroxyde de calcium $\text{Ca(OH)}_2$ ($C_b = 2{,}25\cdot 10^{-3}\text{ mol/L}$, dibase forte) pour un volume d'échantillon $V = 50\text{ mL}$.
2.1.1- Montrer que $[\text{H}_3\text{O}^+]^2 + K_a[\text{H}_3\text{O}^+] - K_a C_a = 0$. (0,25 pt)
2.1.3- Calculer $C_a$ puis la concentration massique $C_{m1}$. (0,5 pt)
2.2.1- Écrire l'équation-bilan avec $\text{Ca(OH)}_2$ et calculer la constante $K_r$. (0,75 pt)
2.3.1- Avec $V_{\text{eq}} = 9{,}8\text{ mL}$, calculer $C_{m2}$ et statuer sur la toxicité chronique. (0,5 pt)
Corrigé :
• $[\text{H}_3\text{O}^+] = 10^{-3{,}5} = 3{,}16 \cdot 10^{-4}\text{ mol/L}$.
• $C_a = [\text{H}_3\text{O}^+] + \frac{[\text{H}_3\text{O}^+]^2}{K_a} = 3{,}16 \cdot 10^{-4} + \frac{(3{,}16 \cdot 10^{-4})^2}{10^{-3{,}75}} = 8{,}79 \cdot 10^{-4}\text{ mol/L}$.
• $C_{m1} = C_a \times 46 = \mathbf{40{,}4\text{ mg/L}}$.
• Équation du dosage : $2\,\text{HCOOH} + \text{Ca}^{2+} + 2\,\text{OH}^- \longrightarrow (\text{Ca}^{2+} + 2\,\text{HCOO}^-) + 2\,\text{H}_2\text{O}$.
• Constante : $K_r = \frac{K_a^2}{K_e^2} = 3{,}16 \cdot 10^{20} \gg 10^4$ (Réaction totale).
• $C_{m2} = \frac{2 C_b V_{\text{eq}} M}{V} = \frac{2 \times 2{,}25 \cdot 10^{-3} \times 9{,}8 \cdot 10^{-3} \times 46}{0{,}050} = \mathbf{40{,}6\text{ mg/L}}$.
• Verdict de toxicité : $C_{m2} = 40{,}6\text{ mg/L} < 46\text{ mg/L}$. L'eau ne présente pas de toxicité chronique pour les poissons.
Ex 3 · 04.75 pts
Balistique & Police Scientifique · Lycée Thierno Seydou Nourou Tall (Choc Mou Piston)
Des élèves du lycée Thierno Seydou Nourou Tall visitent le laboratoire de la police technique et scientifique de Dakar pour déterminer la masse $m$ d’une balle de fusil et sa vitesse d’éjection $V_e$.
Partie A : Solide A ($m_1 = 30\text{ g}$) sur plan incliné $\alpha = 30^\circ$ relié par un fil à la balle B de masse $m$ et à un ressort ($k = 60\text{ N/m}$). Mesure de 15 oscillations : $\Delta t = 2{,}72\text{ s}$.
Partie B : La balle ($m = 20\text{ g}$) est tirée horizontalement à la vitesse $V_e$ sur un piston récepteur de masse $M = 1{,}00\text{ kg}$ lié à un ressort ($k' = 2\,000\text{ N/m}$). Choc mou, oscillations d'amplitude segmentaire $L = 52\text{ cm}$.
3.1.2- Condition d'équilibre et expression de la masse $m$ en fonction de $m_1, k, x_0, g, \alpha$. (0,5 pt)
3.2.1- Établir l'équation différentielle $\ddot{x} + \frac{k}{m_1+m} x = 0$. (0,5 pt)
3.2.2.2- Trouver la valeur numérique de la masse $m$. (0,5 pt)
3.3.1- Conservation de la quantité de mouvement lors du choc mou : relation entre $V_e, V_s, m, M$. (0,5 pt)
3.3.4- Calculer $V_s$ et déduire la vitesse d'éjection $V_e$ de la balle. (0,5 pt)
Corrigé :
• Période des oscillations : $T_0 = \frac{\Delta t}{15} = \frac{2{,}72}{15} = 0{,}1813\text{ s}$.
• $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{m_1+m}{k}} \implies m_1 + m = \frac{k T_0^2}{4\pi^2} = \frac{60 \times (0{,}1813)^2}{4\pi^2} = 0{,}050\text{ kg} = 50\text{ g}$.
• Masse de la balle : $m = 50 - 30 = \mathbf{20\text{ g}}$.
• Après le choc mou : $X_m = \frac{L}{2} = \frac{52}{2} = 26\text{ cm} = 0{,}26\text{ m}$.
• Conservation de l'énergie mécanique : $\frac{1}{2}(M+m)V_s^2 = \frac{1}{2}k' X_m^2 \implies V_s = X_m \sqrt{\frac{k'}{M+m}} = 0{,}26 \times \sqrt{\frac{2000}{1{,}020}} = \mathbf{11{,}5\text{ m/s}}$.
• Quantité de mouvement : $m V_e = (M+m) V_s \implies V_e = \frac{M+m}{m} V_s = \frac{1{,}020}{0{,}020} \times 11{,}5 = \mathbf{586{,}5\text{ m/s}}$.
Ex 4 · 04.75 pts
Régimes Transitoires & Oscillations Forcées · Lycée Malick Sy de Thiès
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Les élèves du lycée Malick Sy étudient un dipôle RL soumis à un échelon de tension $E$, avec $R_0 = 4{,}0\,\Omega$, bobine $(L, r)$. Mesure de $u_R(t)$ à l'oscilloscope numérique : asymptote à $4{,}0\text{ V}$, constante de temps $\tau = 2{,}0\text{ ms}$.
Puis insertion d'un condensateur de capacité $C$ sous excitation GBF sinusoïdale ($L = 0{,}01\text{ H}$).
4.1.4.2- Calculer $r$ et déduire $L$. (0,5 pt)
4.1.5- Régime permanent avec $I_0 = 1\text{ A}$ : trouver $E$. (0,25 pt)
4.2.2- Oscillogrammes sous GBF : amplitudes $U_m$, fréquence $N_1$, déphasage $\varphi$. (0,75 pt)
4.2.3- Avec $N_1 = N_0 / \sqrt{2}$, déterminer $C$ et $R_1$. (0,75 pt)
Corrigé :
• $I_0 = \frac{U_{R0}}{R_0} = \frac{4{,}0}{4{,}0} = 1{,}0\text{ A}$. Tension générateur : $E = (R_0 + r)I_0 = 4{,}0 + r \implies r = \mathbf{2{,}0\,\Omega}$ et $E = \mathbf{6{,}0\text{ V}}$.
• Inductance : $\tau = \frac{L}{R_0 + r} \implies L = \tau (R_0 + r) = 2{,}0 \cdot 10^{-3} \times 6{,}0 = \mathbf{12\text{ mH}}$.
• Pour le circuit RLC : $N_1 = 795\text{ Hz} \implies N_0 = N_1 \sqrt{2} = 1125\text{ Hz}$.
• Capacité : $C = \frac{1}{4\pi^2 N_0^2 L} = \frac{1}{4\pi^2 \times 1125^2 \times 0{,}01} = \mathbf{2{,}0\,\mu\text{F}}$.
Ex 5 · 04.5 pts
Astrophysique & Atomes de Rydberg · Radiotélescope SKA (1.42 GHz) & Transitions Géantes
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Le radiotélescope SKA détecte un sursaut radio avec une raie d'émission à $\nu = 1{,}42\text{ GHz}$ provenant d'un nuage d'hydrogène interstellaire. Modèle de Bohr : orbites de rayon $r_n = a_0 n^2$ et énergie $E_n = -\frac{K e^2}{2 r_n} = -\frac{E_0}{n^2}$.
Données : $a_0 = 5{,}29\cdot 10^{-11}\text{ m}$, $K = 9{,}0\cdot 10^9\text{ SI}$, $R_H = 1{,}097\cdot 10^7\text{ m}^{-1}$, $c = 3{,}0\cdot 10^8\text{ m/s}$.
5.1.1- Exprimer $E_0$ en fonction de $K, e, a_0$ et calculer sa valeur en eV. (0,75 pt)
5.1.3.3- Pour deux niveaux consécutifs très élevés ($n \gg 1$), montrer que $\lambda_{n \to n-1} \approx \frac{n^3}{2 R_H}$. (0,5 pt)
5.2.1- Trouver le nombre quantique $n_i$ associé à la raie radio $\nu = 1{,}42\text{ GHz}$. (0,75 pt)
5.2.2- Désexcitation vers le niveau fondamental $n = 1$ : calculer la longueur d'onde $\lambda_i$ et préciser son domaine spectral. (1 pt)
Corrigé :
• $E_0 = \frac{K e^2}{2 a_0} = \frac{9{,}0 \cdot 10^9 \times (1{,}6 \cdot 10^{-19})^2}{2 \times 5{,}29 \cdot 10^{-11}} = 2{,}177 \cdot 10^{-18}\text{ J} = \mathbf{13{,}6\text{ eV}}$.
• Longueur d'onde de la raie SKA : $\lambda = \frac{c}{\nu} = \frac{3{,}0 \cdot 10^8}{1{,}42 \cdot 10^9} = 0{,}211\text{ m} = 21{,}1\text{ cm}$.
• Détermination de $n_i$ : $\lambda \approx \frac{n_i^3}{2 R_H} \implies n_i = (2 R_H \lambda)^{1/3} = (2 \times 1{,}097 \cdot 10^7 \times 0{,}211)^{1/3} = (4{,}63 \cdot 10^6)^{1/3} \approx \mathbf{167}$.
• Transition vers $n = 1$ : $\frac{1}{\lambda_i} = R_H \left(1 - \frac{1}{167^2}\right) \approx R_H \implies \lambda_i \approx \frac{1}{R_H} = \mathbf{91{,}2\text{ nm}}$.
• Domaine spectral : Ultraviolet lointain (limite de la série de Lyman, $\lambda < 400\text{ nm}$).
Sciences de la Vie et de la Terre · Séries S2 - S2A (Coef. 6)
Partie I · 05 pts
Reproduction des Angiospermes · Pollinisation, Germination & Sac Embryonnaire
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Rappelle la définition et les modalités de la pollinisation puis expose les transformations allant de la pollinisation à la fécondation chez les angiospermes. Le schéma du sac embryonnaire lors de la fécondation est attendu. (Barème : Définition 0,5 pt ; Modalités 1 pt ; De la pollinisation à la fécondation 2 pts ; Schéma 1,5 pt).
Corrigé officiel :
• Définition : Transport du grain de pollen depuis l'anthère de l'étamine jusqu'au stigmate du pistil.
• Modalités : Autopollinisation (directe) ou pollinisation croisée (indirecte par insectes/entomophile, vent/anémophile, eau/hydrophile).
• Germination et cheminement : Réhydratation du pollen sur le stigmate gluant, émission du tube pollinique guidé par chimiotropisme à travers le style vers le micropyle de l'ovule.
• Double fécondation caractéristique : Le 1er anthérozoïde ($n$) féconde l'oosphère ($n$) pour donner l'œuf principal ($2n$, futur embryon). Le 2e anthérozoïde ($n$) féconde les 2 noyaux polaires du sac ($n+n$) pour donner l'œuf accessoire ($3n$, futur albumen nourricier).
• Schéma du sac embryonnaire : 3 antipodes au pôle chalazien, 2 synergides encadrant l'oosphère au pôle micropylaire, cellule centrale à 2 noyaux polaires.
Partie II Ex 1 · 06 pts
Génétique Humaine · Électrophorèse d'ADN, Arbre Généalogique & Diagnostic Prénatal
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Analyse d'une maladie héréditaire sur deux familles. Discussion de 4 hypothèses (récessif/dominant lié à X ou autosome). Exploitation de profils électrophorétiques (Famille 2) et diagnostic prénatal du fœtus de III1 et III2 (Famille 1).
Corrigé officiel :
• Réfutation hypothèse 2 (dominant lié à X) : Père atteint ayant des filles saines (impossible si dominant lié à X).
• Réfutation hypothèse 1 (récessif lié à X) : Mère saine de la famille 2 n'ayant qu'un allèle sain mais transmettant la maladie à sa descendance sans transmission père-fils exclusive.
• Validation : L'allèle responsable est récessif et porté par un autosome ($a_2$).
• Génotypes : $III_1 (A//a_2)$, $III_2 (A//a_2)$. Le fœtus présente la quantité d'ADN correspondant à une dose d'allèle sain $a_1$ et une dose d'allèle muté $a_2$ : génotype $(a_1//a_2)$, il sera sain (hétérozygote conducteur).
Partie II Ex 2 · 07 pts
Immunologie Médicale · Opsonisation par Anticorps & Neutralisation du Staphylocoque Doré
Étude de l'intervention des anticorps dans l'immunité innée et synergie avec les antibiotiques pour éradiquer Staphylococcus aureus en phase intracellulaire (macrophages).
Corrigé officiel :
• Rôle des anticorps dans l'immunité innée (Opsonisation) : Les immunoglobulines se fixent par leurs sites variables Fab aux antigènes bactériens. Le fragment constant Fc est ensuite reconnu par les récepteurs membranaires du macrophage.
• Facilitation de la phagocytose : Cette fixation déclenche l'émission de pseudopodes et l'endocytose rapide de la bactérie.
• Synergie avec les antibiotiques : L'antibiotique seul ne pénètre pas efficacement dans les macrophages où le staphylocoque s'abrite. Couplé aux anticorps, l'ensemble pénètre dans la vacuole de phagocytose, assurant une bactéricidie complète à $99{,}9\%$.
Sciences de la Vie et de la Terre · Série S1 (Coef. 3)
Partie I · 04 pts
Immunologie · Réponse Immunitaire à Médiation Humorale (RIMH) & Phase Effectrice
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Corrigé : Expérience historique de transfert passif de sérum immunisé contre la toxine tétanique. Phase effectrice : sécrétion massive d'anticorps par les plasmocytes, formation de complexes immuns, neutralisation et lyse via le système du complément.
Partie II Ex 1 · 08 pts
Physiologie Musculaire · Déclin Musculaire avec l'Âge, Mitochondries & Rôle de l'Apeline
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Corrigé : Le vieillissement s'accompagne d'une chute de sécrétion de l'apeline endogène, diminuant le nombre de mitochondries et la production d'ATP, tout en augmentant l'expression de l'ARNm Trim63 (protéolyse). L'injection d'apeline restaure la biogenèse mitochondriale et freine Trim63, régénérant la force musculaire.
Partie II Ex 2 · 06 pts
Génétique Formelle · Dihybridisme chez les Lapins Angoras & Liaison Génétique
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Corrigé : F1 homogène [poils courts, pelage tacheté] $\implies$ allèles dominants $A > a$ et $T > t$. Test-cross $F_1 imes P_1$ donnant 4 classes avec proportions inégales (87, 86 parentaux vs 13, 12 recombinés) $\implies$ Gènes liés portés par le même autosome avec crossing-over. Distance génétique $d = \frac{13+12}{198} \times 100 = \mathbf{12{,}6\text{ cM}}$.
Mathématiques · Série S1 (Coef. 8)
Ex 1 · 05 pts
Arithmétique & Cryptographie · Nombres de Mersenne, Petit Théorème de Fermat & Chiffrement Affine
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Système de codage affine : $y \equiv 7x + \beta \pmod{26}$, où $\beta$ est le reste de $5(2^\delta - 1)$ par division euclidienne par $2^\delta - 1$, avec $\delta$ donné en base 16 par : $\delta = 189E1_{16} - 187D8_{16}$.
1. a) Montrer que $2^{lk} - 1$ est divisible par $2^l - 1$ et $2^k - 1$.
b) En déduire que si $2^p - 1$ est premier, alors $p$ est premier.
c) Le nombre $\Gamma = 2^{11} - 1$ est-il premier ? Réciproque ?
2. Montrer que $\delta = 521$ premier.
3. En admettant que $2^\delta - 1$ est premier, montrer que $\beta = 5$ (Fermat).
4. Montrer que $y \equiv 7x + 5 [26] \iff x \equiv 15y + 3 [26]$.
5. Coder le mot N G O R et décoder L F I C.
Corrigé officiel :
• $2^{lk}-1 = (2^l)^k - 1 = (2^l - 1)\sum_{j=0}^{k-1} (2^l)^j$, donc divisible par $2^l - 1$.
• Si $p$ était composé ($p = ab$ avec $a,b > 1$), alors $2^p - 1 = 2^{ab} - 1$ serait divisible par $2^a - 1 > 1$, donc composé. Par contraposée, $2^p - 1$ premier $\implies p$ premier.
• $\Gamma = 2^{11} - 1 = 2047 = 23 \times 89$. $\Gamma$ est composé alors que 11 est premier : la réciproque est fausse.
• En base 16 : $\delta = 100833 - 100312 = \mathbf{521}$. 521 n'a aucun diviseur premier $\le \sqrt{521} \approx 22{,}8$ (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19) $\implies$ 521 est premier.
• Par Fermat : $5(2^\delta - 1) = 5 \pmod{2^\delta - 1} \implies \beta = 5$.
• Inverse de 7 modulo 26 : $7 \times 15 = 105 = 4 \times 26 + 1 \equiv 1 [26]$.
$x \equiv 15(y - 5) \equiv 15y - 75 \equiv 15y + 3 [26]$.
• Codage de N G O R : N(13) $\to$ 18 (S) ; G(6) $\to$ 21 (V) ; O(14) $\to$ 25 (Z) ; R(17) $\to$ 20 (U). Le message codé est S V Z U.
• Décodage de L F I C : L(11) $\to$ 15 (P) ; F(5) $\to$ 0 (A) ; I(8) $\to$ 17 (R) ; C(2) $\to$ 7 (H). Le message décodé est P A R H (ou P A I X selon convention).
Ex 2 · 05 pts
Probabilités & Similitudes Directes · Urnes, Isométries & Hyperbole Conique
Tirage de jetons dans l'urne $U_1$ (11 à 20), puis tirage de boules dans $U_2$ ou $U_3$ donnant les paramètres $(\alpha, \beta)$.
Application associée : $\Psi_{\alpha, \beta}(z) = \frac{\alpha}{4} e^{i \frac{\pi \beta}{24}} z + i$.
Partie II : Image de l'hyperbole $\mathcal{H} : x^2 - 2x - 4y^2 = 0$ par la transformation $S = t \circ \Psi_{2, 6}$.
Corrigé :
• $\Psi_{\alpha, \beta}$ est une isométrie si et seulement si $|a| = 1 \iff \frac{\alpha}{4} = 1 \implies \alpha = 4$.
• Probabilité d'obtenir une isométrie : $P = \mathbf{\frac{43}{90}} \approx 47{,}8\%$.
• Translation si $a = 1 \iff \alpha = 4$ et $\beta = 0$ : $P = \mathbf{\frac{7}{90}}$.
• Schéma de Bernoulli (au moins une isométrie sur $n$ épreuves) : $1 - (47/90)^n \ge 0{,}99 \implies n \ge \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(47/90)} \approx 7{,}08 \implies \mathbf{n = 8}$.
• Hyperbole $\mathcal{H} : (x-1)^2 - 4y^2 = 1 \implies \frac{(x-1)^2}{1} - \frac{y^2}{(1/2)^2} = 1$. Centre $\Omega(1, 0)$, excentricité $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{1 + 1/4}}{1} = \mathbf{\frac{\sqrt{5}}{2}}$.
• Équation de l'image $\mathcal{H}'$ dans le repère $(O, \vec{u}, \vec{v})$ : après rotation d'angle $\pi/4$, $\mathbf{3x^2 + 3y^2 - 10xy + \sqrt{2}x + \sqrt{2}y = 0}$.
Problème · 10 pts
Analyse · Famille de Fonctions $f_n(x) = \frac{1}{n!} (2+x)^n e^{-x}$, Intégrales $I_n(x)$ & Formule de Taylor
Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $f_n(x) = \frac{1}{n!} (2+x)^n e^{-x}$ sur $\mathbb{R}$.
Partie I : Étude de $f_1(x) = (2+x)e^{-x}$, variations, courbe $(C_1)$ et calcul de l'aire $A(\beta) = \int_{-2}^\beta f_1(t)dt$.
Partie II : Étude de $f_n$ ($n \ge 2$), dérivée $f_n'(x) = \frac{1}{n!} (2+x)^{n-1} (n - 2 - x) e^{-x}$, maximum $y_n = \frac{e^2}{n!} (n/e)^n$, relation $y_{n+1} = f_n(n-1)$ et convergence de la suite $(y_n)$ vers 0.
Partie III : Intégrales $I_n(x) = \int_{-2}^x f_n(t)dt$, intégration par parties et démonstration de la formule sommatoire exponentielle.
Corrigé :
• $f_1'(x) = e^{-x} - (2+x)e^{-x} = (-1-x)e^{-x}$. Maximum en $x = -1$ valant $f_1(-1) = 1 \cdot e^1 = \mathbf{e}$.
• Aire : $A(\beta) = \left[ -(3+t)e^{-t} \right]_{-2}^\beta = e^2 - (3+\beta)e^{-\beta}$.
• $\lim_{\beta \to +\infty} A(\beta) = \mathbf{e^2}$ (Interprétation : aire totale sous la courbe sur $[-2, +\infty[$).
• Maximum de $f_n$ atteint en $x = n - 2$ : $y_n = f_n(n-2) = \frac{1}{n!} n^n e^{-(n-2)} = \mathbf{\frac{e^2}{n!} \left(\frac{n}{e}\right)^n}$.
• Intégration par parties de $I_{k+1}(x)$ : en posant $u = \frac{(2+t)^{k+1}}{(k+1)!}$ et $v' = e^{-t}$, on obtient :
$$I_{k+1}(x) = I_k(x) - \frac{(2+x)^{k+1}}{(k+1)!} e^{-x}$$
• Par sommation télescopique, on aboutit à la relation fondamentale :
$$I_n(x) = e^2 - e^{-x} \sum_{k=0}^n \frac{(2+x)^k}{k!}$$
qui établit avec rigueur le développement de Taylor de la fonction exponentielle.