BAC S1 / S1A / S3 · SESSION 2026 OFFICE DU BACCALAURÉAT DU SÉNÉGAL TRACEUR VECTORIEL 60 FPS CORRIGÉ OFFICIEL 20/20

SunuMind Math Lab · Épreuve Complète & Corrigé Officiel Bac S1 2026

Résolution interactive pas-à-pas : Arithmétique affine & Mersenne (Ex 1), Probabilités, Similitudes & Coniques tournées (Ex 2), Analyse $f_n$, Intégrales $I_n$ & Nombre d'Euler $e$ (Problème).

🚀 Balistique ⚡ Circuit RLC 🧪 Titrage pH 📐 Complexes 🧬 SVT 🇸🇳 Hub Sénégal

Courbe :

Pointeur : x = 0.00, y = 0.00 f(x) : -- Pente f'(x) : --

Tangente en x₀ : y = --

Calques :

Glisser 1 doigt pour déplacer le repère

Ordre de la fonction (n) : n = 1

f₁(x) = (2+x)e⁻ˣ

Point de Tangente (x₀) : x₀ = -2.00

Borne d'Intégrale (β / α) : β = 3.00

A(β) ≈ 7.09 u.a. (lim = e² ≈ 7.39)

Épreuve Complète Bac S1 2026

Défis & Résolution Interactive

0/1000 pts

Sélection de l'Exercice de l'Épreuve :

Énoncé officiel : On étudie $f_1(x) = (2+x)e^{-x}$.
1. a) Étudier les variations de $f_1$ et dresser son tableau de variations.
1. b) Tracer $(C_1)$ et préciser sa tangente $T_1$ au point d'abscisse $-2$.

Étape 1 : Expression de la dérivée À valider

Quelle est l'expression simplifiée de $f_1'(x)$ pour tout réel $x$ ?

Étape 2 : Validation graphique

Positionne le curseur $x_0$ pile en $x = -2$ pour observer la tangente $T_1$.

Énoncé officiel : Soit $\beta > -2$. $A(\beta) = \int_{-2}^\beta f_1(x)dx$.
2. a) Déterminer $A(\beta)$ en unité d'aire.
2. b) Déterminer la limite de $A(\beta)$ quand $\beta \to +\infty$ et interpréter géométriquement.

Étape 1 : Limite de l'aire infinie À valider

Que vaut rigoureusement $\lim_{\beta \to +\infty} A(\beta)$ ?

Énoncé officiel : Pour $n \ge 2$, $f_n(x) = \frac{1}{n!} (2+x)^n e^{-x}$.
1. Limites en $-\infty$ (selon la parité de $n$) et en $+\infty$.
2. Dérivée $f_n'(x)$, tableau de variations et preuve que le maximum sur $[-2, +\infty[$ vaut $y_n = \frac{e^2}{n!} \left(\frac{n}{e}\right)^n$.

Abscisse du Maximum de $f_n$ À valider

Pour tout $n \ge 2$, en quelle abscisse $x_n$ la fonction $f_n$ atteint-elle son maximum ?

Énoncé officiel :
3. a) Calculer $\frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}$ pour $x > -2$, puis en déduire que $y_{n+1} = f_n(n-1)$.
3. b) Étudier le sens de variation de la suite $(y_n)$.
3. c) Montrer que $(y_n)$ est convergente (admis qu'elle converge vers 0).

Défi Conceptuel : Décroissance de $(y_n)$ À valider

Pourquoi a-t-on $y_{n+1} = f_n(n-1) < f_n(n-2) = y_n$ ?

Énoncé officiel : Pour tout $x \in [-2, +\infty[$, $I_n(x) = \int_{-2}^x f_n(t)dt$.
1. a) Démontrer que pour tout $k \ge 1$ : $I_{k+1}(x) = I_k(x) - \frac{(2+x)^{k+1}}{(k+1)!}e^{-x}$.
1. b) En déduire que : $I_n(x) = e^2 - e^{-x} \sum_{k=0}^n \frac{(2+x)^k}{k!}$.

Question Méthodologique À valider

Quel choix de fonctions $(u, v')$ pour l'IPP permet de faire chuter l'exposant de $(2+t)^{k+1}$ ?

Énoncé officiel : Soit $\alpha \ge -2$.
2. a) Montrer que $0 \le I_n(\alpha) \le (\alpha+2)y_n$, puis en déduire $\lim_{n\to\infty} I_n(\alpha) = 0$.
3. a) Montrer que $J_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{(2+x)^k}{k!} = e^{2+x} - e^x I_n(x)$ et calculer sa limite.
3. c) En déduire la limite de la suite historique $U_n = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{n!}$.

Grand Défi Final d'Euler À valider

Quelle valeur remarquable obtient-on pour $\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$ ?

Énoncé officiel : 3 urnes : $U_1$ (10 jetons 11..20), $U_2$ (3 boules 0, 2 boules 4, 1 boule 2), $U_3$ (2 boules 0, 3 boules -4, 1 boule 6).
Tirage de 2 jetons dans $U_1$ : si 2 nombres premiers $\implies$ tirage avec remise dans $U_2$, sinon sans remise dans $U_3$.
$\Psi_{\alpha, \beta}(z) = \frac{\alpha}{4} e^{i \frac{\pi \beta}{24}} z + i$.

Question de base : Tirage dans $U_1$ À valider

Parmi {11, 12, ..., 20}, il y a 4 nombres premiers (11, 13, 17, 19). Que vaut $P(E)$ ?

Questions officielles : Calculer la probabilité pour que $\Psi_{\alpha, \beta}$ soit :
1. Une isométrie (montrer qu'elle vaut 43/90).
2. Une translation.
3. Une homothétie.
4. Une rotation.

Question Isométrie À valider

Pour quelle condition nécessaire et suffisante sur $\alpha$ l'application est-elle une isométrie ?

Énoncé officiel : On répète l'épreuve $n$ fois de manière indépendante ($n \ge 2$).
Déterminer la plus petite valeur de $n$ pour être sûr à au moins 99% d'obtenir au moins une fois une isométrie.

Résolution logarithmique À valider

Quelle est la plus petite valeur entière $n_0$ satisfaisant $1 - (47/90)^n \ge 0.99$ ?

Énoncé officiel : On considère la courbe $(\mathcal{H})$ d'équation cartésienne $x^2 - 2x - 4y^2 = 0$.
1. a) Montrer que $(\mathcal{H})$ est une hyperbole dont on déterminera le centre $\Omega$ et l'excentricité $e$.
1. b) Déterminer les équations de ses asymptotes et la construire.

Asymptotes À valider

Quelles sont les équations des asymptotes sécantes de $(\mathcal{H})$ ?

Énoncé officiel : $S = t \circ \Psi_{2,6}$ (translation de vecteur $-e_2$).
1. c) Montrer que l'image $\mathcal{H}'$ de $\mathcal{H}$ a pour équation : $3x^2 + 3y^2 - 10xy + \sqrt{2}x + \sqrt{2}y = 0$.
2. Dans le repère orthonormé direct tourné de $\pi/4$ défini par $\vec{u} = \frac{1}{\sqrt{2}}(e_1+e_2)$ et $\vec{v} = \frac{1}{\sqrt{2}}(-e_1+e_2)$, déterminer l'équation réduite de $\mathcal{H}'$, son centre et ses foyers.

Équation dans $(O; \vec{u}, \vec{v})$ À valider

Quelle est l'équation cartésienne réduite de $\mathcal{H}'$ dans le repère $(O; \vec{u}, \vec{v})$ ?

Énoncé officiel : Soient $l$ et $k$ deux entiers naturels non nuls.
1. a) Montrer que $2^{lk}-1$ est divisible par $2^l-1$ et $2^k-1$.
1. b) En déduire que si $2^p-1$ est premier, alors $p$ est premier.
1. c) Le nombre $\Gamma = 2^{11}-1$ est-il premier ? Que penser de la réciproque ?

Question Réciproque À valider

$\Gamma = 2^{11} - 1 = 2047$. Quelle est sa factorisation en nombres premiers ?

Énoncé officiel : $\delta = \overline{189E1}_{16} - \overline{187D8}_{16}$.
2. Montrer que $\delta = 521$ et justifier qu'il est premier.
3. En admettant que $2^\delta - 1$ est premier, montrer que le reste $\beta$ vaut 5 par le Petit Théorème de Fermat ($x^p \equiv x [p]$).

Primalité de 521 À valider

Jusqu'à quel entier maximal suffit-il de tester les diviseurs premiers pour 521 ?

Énoncé officiel :
4. Montrer que l'équation $y \equiv 7x + 5 \pmod{26}$ est équivalente à l'équation $x \equiv 15y + 3 \pmod{26}$.

Inverse modulaire de 7 À valider

Que vaut $7 \times 15$ modulo 26 ?

Énoncé officiel : Chiffrement affine $y \equiv 7x + 5 \pmod{26}$.
1. a) Montrer que la lettre $N$ correspond à $S$.
1. b) Déterminer le mot chiffré qui code le mot "N G O R".
2. Un agent reçoit le message codé "L F I C". Décoder ce message.

Simulateur Interactif de Codage / Décodage :

Texte Clair :

Résultat Affine :

SVZU

Formule inverse de décodage : x ≡ 15y + 3 [26]

Défi Décodage LFIC :

Quel mot secret obtient-on en décodant "LFIC" ?

SYNTHÈSE MÉTHODOLOGIQUE BACCALAURÉAT S1 SÉNÉGAL

Les 3 Règles d'Or pour Réussir l'Épreuve du Bac S1 (20/20)

Épreuve du 1er groupe · Coefficient 8

Pilier 1 · Analyse : Dérivation & Factorisation

Ne jamais développer les polynômes avec exponentielle

Pour dériver $f_n(x) = \frac{1}{n!} (2+x)^n e^{-x}$, factorise systématiquement par $(2+x)^{n-1} e^{-x}$. On obtient directement le facteur affine $(n - 2 - x)$, ce qui donne immédiatement les zéros et le signe sans calcul lourd.

Pilier 2 · Géométrie : Coniques & Repères Tournés

Changement de repère orthonormé direct

Quand une équation conique contient un terme croisé $xy$ (comme $3x^2+3y^2-10xy$), effectue la rotation d'angle $\pi/4$ avec $\vec{u} = \frac{e_1+e_2}{\sqrt{2}}$ et $\vec{v} = \frac{-e_1+e_2}{\sqrt{2}}$. L'équation devient diagonale canonique $X^2 - 4Y^2 - X = 0$.

Pilier 3 · Arithmétique : Modulo & Fermat

Inverses modulaires & Sécurité

Pour inverser un chiffrement affine $y \equiv ax + b [m]$, trouve l'inverse $u$ de $a$ modulo $m$ tel que $au \equiv 1 [m]$ par Bézout. Pour $a=7$ et $m=26$, $7 \times 15 = 105 \equiv 1 [26]$. Multiplie l'équation par $15$ pour isoler $x$ en un seul calcul !

SunuMind Math Lab · Épreuve Complète & Corrigé Officiel Bac S1 2026

Variations de f₁ & Tangente T₁ en x = -2

Calcul d'Aire A(β) & Limite e² quand β → +∞

Famille (fₙ), Dérivée & Maximum yₙ = e²(n/e)ⁿ/n!

Rapport fₙ₊₁/fₙ, Décroissance & Convergence vers 0

Intégrales Iₙ(x), Récurrence IPP & Formule Somme

Théorème des Gendarmes & Constante d'Euler : e = Σ 1/k!

Urnes U₁, U₂, U₃ & Application Ψ(α,β)

Isométrie (43/90), Translation, Homothétie & Rotation

Nombre Minimal de Tirages pour ≥ 99% de Sécurité

Hyperbole (ℋ) : Centre Ω(1,0), Excentricité e = √5/2

Image (ℋ') Tournée à 45° & Repère (O; u, v)

Divisibilité de 2ˡᵏ - 1 & Contre-Exemple Γ = 2¹¹ - 1

Calcul de δ = 521, Crible & Reste β = 5

Équivalence y ≡ 7x + 5 ⟺ x ≡ 15y + 3 [26]

Chiffrement NGOR ➔ SVZU & Décodage LFIC ➔ MATH

Les 3 Règles d'Or pour Réussir l'Épreuve du Bac S1 (20/20)

Ne jamais développer les polynômes avec exponentielle

Changement de repère orthonormé direct

Inverses modulaires & Sécurité